Gelanggang

Jenis gelanggang dengan sifat khusus

  1. Gelanggang komutatif, yaitu gelanggang yang bersifat komutatif terhadap operasi perkalian
  2. Gelanggang dengan unsur satuan, yaitu suatu gelanggang (G, +, x ) yang memuat suatu unsur sebut e, dengan sifat “gÎG, berlaku g x e = e x g = g, (ge=eg=g )
  3. Gelanggang dengan pembagi nol, misal z suatu unsur nol dari gelanggang G, G disebut suatu gelanggang dengan pembagi nol jika terdapat dua elemen a¹z dan b¹z di G, sehingga ab = z dan ba =z
  4. Daerah integral, yaitu suatu gelanggang komutatif, mempunyai elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol.
  5. Lapangan, yaitu suatu gelanggang G yang komutatif dengan elemen satuan dan setiap elemen tak nol mempunyai invers terhadap operasi perkalian.
  6. Gelanggang pembagian, suatu gelanggang G dengan paling sedikit memuat dua elemen disebut gelanggang pembagian atau lapangan tidak sempurna jika G suatu gelanggang dengan elemen satuan dan setiap elemen tak nol mempunyai invers terhadap operasi perkalian.
  7. Gelanggang Boole, yaitu suatu gelanggang G dengan sifat “gÎG, berlaku g2=g.
  8. Gelanggang-p, yaitu suatu gelanggang G, dengan sifat “gÎG, berlaku gp = g dan pg = z.

PERKALIAN DAN PANGKAT DALAM GELANGGANG

Dalam gelanggang (G,+,x), untuk suatu bilangan bulat positif m dan suatu elemen g di G, mg = g+g+…+ g ( sebanyak m kali ).

Kemudian (-m)g = (-g) + (-g) + … + (-g) ( sebanyak m kali)

= m(-g)

= -(mg)

dan 0g=0 ( dalam hal ini 0 adalah bilangan bulat bukan unsur nol G)

Juga, gm = g x g x … x g.

Berkenaan dalam gelanggang tidak mensyaratkan adanya invers dari suatu elemen terhadap operasi perkalian, maka pangkat negatif tidak didefinisikan.

KARAKTERISTIK GELANGGANG

Suatu gelanggang G dikatakan mempunyai karakteristik n, jika “gÎG, berlaku ng = z.

Karakteristik gelanggang dapat diidentifikasikan melalui karakteristik dari unsur satuannya ( jika ada ) dalam kedudukannya pada grup (Ingat terhadap operasi penjumlahan gelanggang merupakan grup ), berdasar teorema berikut.

Teorema. Karakteristik suatu gelanggang G dengan elemen satuan e, bergantung karakteristik dari e dalam grup penjumlahan G.

PENGERTIAN PEMBAGI NOL

Suatu elemen g dari gelanggang G, disebut pembagi nol jika terdapat elemen b yang bukan elemen nol sehingga gb = bg = z. ( jika hanya berlaku gb = z disebut pembagi nol kiri, jika hanya berlaku bg = z disebut pembagi nol kanan.( perhatikan bahwa unsur nol dalam suatu gelanggang selalu merupakan pembagi nol )

Selanjutnya jika g ¹ z, dikatakan g suatu pembagi nol sejati dalam gelanggang G.

Terdapat hubungan pembagi nol dengan berlakunya hukum kanselasi, seperti teorema berikut.

Jika g bukan pembagi nol dalam gelanggang G, dan terdapat x,y di G sehingga gx=gy maka berlaku x=y ( juga jika xg = yg maka berlaku x=y )

Apakah (Z4, +, x ) punya pembagi nol sejati (pns)?

Apakah (Z7, +, x ) punya pembagi nol sejati (pns)?

Berikan operasi sehingga Z3xZ3 merupakan ring! Punyakah pns ?

Berikan operasi sehingga ZxZ merupakan ring! Punyakah pns ?

Manakah subring terkecil dari Z yang memuat 3?

Teorema. Hasil kali dua unsur yang bukan pembagi nol adalah bukan pembagi nol.

Hubungan invers dan pembagi nol dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema. Dalam suatu gelanggang G dengan unsur satuan, suatu unsur yang mempunyai invers kiri ( kanan ) , bukanlah suatu pembagi nol kiri (kanan)

Elemen idempoten dalam gelanggang

Suatu elemen g di gelanggang G, disebut elemen idempoten jika berlaku g2 = g.

Elemen nilpoten dalam gelanggang

Suatu elemen g di gelanggang G, disebut elemen nilpoten jika terdapat bilangan bulat n sehingga berlaku gn = z.

Contoh-contoh

  1. Misal G = { (x,y) | x,yÎR }. Pada G didefinisikan operasi + dan x sebagai berikut. Untuk sebarang (a,b) dan (c,d) pada G, berlaku

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) dan (a,b) x (c,d) = (ac – bd, ad + bc )

(G, +, x ) jenis merupakan gelanggang yang mana ?

  1. Dalam himpunan bilangan bulat Z , didefinisikan operasi Å dan Ä sebagai berikut. Untuk sebarang a,b di Z , berlaku

. a Å b = a+b+1 dan a Ä b = a + b + ab, termasuk gelanggang apakah (Z,Å,Ä,) ?

  1. Apakah himpunan matriks , dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan gelanggang? Jenis apa?
  2. Dalam suatu gelanggang G, yang memiliki lebih dari satu elemen maka elemen nol dan elemen satuan adalah berbeda.

SUBRING ( GELANGGANG BAGIAN )

Suatu himpunan bagian S dari suatu gelanggang G disebut subring (gelanggang bagian) dari G, jika S merupakan gelanggang terhadap operasi yang sama dengan G.

Setiap gelanggang merupakan gelanggang dari dirinya sendiri.

Setiap gelanggang G selalu mempunyai gelanggang bagian, yaitu {z} dan G.

Untuk sebarang gelanggang G dan suatu bilangan bulat m, himpunan S = { mx | xÎ G } merupakan gelanggang bagian dari G.

Teorema. Misal G gelanggang, S himpunan bagian G yang tak kosong disebut gelanggang bagian dari G, jika memenuhi

  1. “a,bÎS, a+(-b) = a-b Î S
  2. “a,bÎS, ab Î S

Dari gelanggang matrik M2(R) = , matrik-matrik berikut merupakan gelanggang bagian dari M2(R).

1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. M2(Q) 8. M2(Z)

Beberapa sifat gelanggang bagian

  1. Dalam gelanggang G, jika G1 dan G2 merupakan gelanggang bagian dari G, maka G1ÇG2 merupakan gelanggang bagian dari G.
  2. Jika G gelanggang tanpa elemen satuan , kemudian S gelanggang bagian dari G dan S memuat elemen satuan maka elemen satuan ini merupakan pembagi nol sejati.
  3. Jika G gelanggang dengan elemen satuan e, kemudian S gelanggang bagian dari G dan S mempunyai elemen satuan e1¹e maka elemen satuan ini (e1) merupakan pembagi nol sejati.

IDEAL

Suatu himpunan bagian tak kosong S dari gelanggang G, disebut ideal dari G jika:

  1. Terhadap operasi penjumlahan, S merupakan subgrup dari G (berarti “x,yÎS, berlaku x-yÎS)
  2. “sÎS dan gÎG, berlaku agÎS dan gaÎS.

Dalam keadaan pada 2. hanya berlaku agÎS dikatakan S merupakan ideal kanan dari G , kemudian alam keadaan pada 2. hanya berlaku gaÎS dikatakan S merupakan ideal kiri dari G.

  1. Himpunan bilangan bulat genap merupakan ideal dari gelanggang himpunan bilangan bulat.
  2. Irisan dua ideal adalah ideal. Gabungan ?
  3. Ideal dari ring G merupakan subring dari G?
  4. Misal G gelanggang dan m suatu bilangan bulat. Himpunan mG={mg | gÎG} apakah merupakan ideal dari S ?
  5. Misal G gelanggang, aÎG. Misalkan pula Ga={ga|gÎG}. Apakah Ga ideal dari G?

HOMOMORFISMA GELANGGANG

Misalkan (G,+,x) dan (H,Å,Ä) dua gelanggang. Pemetaan f:G®H, disebut homomorfisma jika dipenuhi, f(a+b)=f(a)Åf(b) dan f(axb)=f(a)Äf(b). Dalam hal ini dikatakan G homomorfik dengan H, juga didefinisikan Ker(f)={ xÎG | f(x) =0 }, dengan 0 unsur nol dari H. Ker(f) merupakan ideal dari G.

Jika homomorfisma f merupakan pemetaan yang satu-satu dan pada , maka f disebut isomorfisma dan dikatakan G isomorfik dengan H. Jika homomorfisma f merupakan pemetaan yang satu-satu disebut monomorfisma, Jika homomorfisma f merupakan pemetaan yang pada disebut epimorfisma . Jika G=H, f disebut endomorfisma.

  1. Untuk suatu ring G dan H , mungkin ada beberapa homomorfisma dari G ke H, paling tidak ada satu homomorfisma yaitu f:G®H dengan f(g)=0, “gÎG.
  2. Jika Gn adalah himpunan bilangan genap,dalam Gn didefinisikan operasi Å dan Ä dengan aturan untuk sebarang a,b di Gn aÅb=a+b dan aÄb=(ab)/2. Dengan operasi ini Gn merupakan gelanggang, sehingga dapat didefinisikan suatu homorfisma f : Z ® Gn, dengan f(a)=2a. Apakah f isomorfisma ?
  3. Dari himpunan N=, dilengkapi operasi jumlah dan kali matriks N, merupakan gelanggang dan jika didefinisikan pemetaan f : N ® N, dengan , maka f suatu homomorfima. Apakah f isomorfisma ?
  4. Dalam homomorfisma f : G ® H, apakah peta dari unsur nol dari G, adalah selalu unsur dari H? Apakah f(-x)=-f(x) ? Jika masing-masing memiliki unsur satuan, apakah peta unsur satuan juga merupakan unsur satuan?
  5. Dalam homomorfisma f : G ® H, apakah peta dari G yaitu f(G) merupakan subring dari H?
  6. Misalkan G gelanggang dengan unsur satuan ( sebut e) dan S suatu ideal dari G dengan eÎS. Buktikan bahwa S=G.
  7. Misalkan S dan T masing-masing ideal dari gelanggang G. Didefinisikan himpunan S+T={s+t|sÎS,tÎT} , buktikan bahwa S+T merupakan ideal dari G.
  8. Misalkan R gelanggang dengan unsur satuan. Untuk suatu a dan b di R didefinisikan himpunan S={xa+yb|x,yÎR}. Buktikan bahwa S merupakan ideal dari R.

Pada bahasan sebelumnya telah diketahui bahwa Kernel dari suatu homomorfisma merupakan ideal. Berikut ini akan diuraikan keadaan sebaliknya bahwa dari sebarang ideal dapat dikonstruksi suatu homomorfisma dengan kernel adalah ideal tersebut. Untuk itu akan dibahas tentang ring kuosien .

Misalkan K suatu ideal dari gelanggang R. Dalam operasi penjumlahan, K merupakan subgrup dari R, sehingga berdasar teori grup akan selalu dapat diperoleh grup kuosien R/K, yaitu himpunan semua koset dari K terhadap R, dengan operasi penjumlahan pada R/K yaitu untuk sebarang dua unsur a+K dan b+K, (a+K) + (b+K) = (a+b) + K.

Selanjutnya dengan cara yang sama definisikan operasi perkalian pada R/K untuk sebarang dua unsur a+K dan b+K, (a+K) x (b+K) = (ab) + K.

Perhatikan bahwa operasi ini well-define(memenuhi syarat sebagai operasi-yaitu operasi sebagai fungsi, dua unsur yang sama petanya sama), yaitu dengan menunjukkan bahwa untuk sebarang unsur-unsur a+K=a’+K dan b+K=b’+K, maka ab + K = (a+K) x (b+K) = (a’+K) x (b’+K) = a’b’ + K.

Perhatikan bahwa dari a+K=a’+K, maka a – a’ ÎK, dan karena K ideal, maka (a-a’ )bÎK. Juga dari b+K=b’+K, maka b­ – b’Î K, dan karena K ideal maka a’( b – b’ ) ÎK, sehingga akan juga berlaku ab – a’b’ = (ab – a’b)+(a’b – a’b’)(a-a’ )b + a’( b – b’ ) Î K

Ini mengatakan bahwa ab + K = a’b’ + K. Jadi terbukti bahwa ab + K = (a+K) x (b+K) = (a’+K) x (b’+K) = a’b’ + K. Jadi operasi ini well-defined. ( selanjutnya bisa ditunjukkan bahwa dengan dua operasi ini, R/K merupakan gelanggang. ) Bukti R/K sebagai gelanggang dapat diperoleh juga dari fakta bahwa dengan pemetaan f berikut, petanya ( f(R)) adalah R/K dan peta dari suatu homomorfisma adalah suatu ring.

Hal ini merupakan hasil dari teorema berikut.

Misalkan K suatu ideal dari R. Pemetaan f : R ® R/K dengan f(a) = a +K, untuk aÎR merupakan homomorfisma pada (epimorfisma) dengan Ker(f)=K.

Berikut ini beberapa teorema tentang homomorfisma yang berkaitan dengan ring kuosien.

Teorema Homomorfisma Pertama

Misalkan pemetaan j : R ® R’ suatu homomorfisma pada dengan Ker(j) = K. Maka R’ » R/K (baca isomorfik); Dalam hal ini jika didefinisikan pemetaan y : R/K ® R’ dengan aturan y(a+K) = j(a), maka pemetaan ini merupakan isomorffisma.

Teorema Homomorfisma Kedua

Misalkan pemetaan j : R ® R’ suatu homomorfisma pada dengan Ker(j) = K. Misal I’ suatu ideal dari R’ dan I={aÎR | j(a)ÎI’ } . Maka I merupakan ideal dari R, I Ê K dan I/K » I’.

Teorema Homomorfisma Ketiga

Misalkan pemetaan j : R ® R’ suatu homomorfisma pada dengan Ker(j) = K. Misal I’ suatu ideal dari R’ dan I={aÎR | j(a)ÎI’ } . Maka R/I » R’/I’. Atau dengan kata lain , jika K suatu ideal dari R dan I Ê K, maka R/I » (R/K)/(I/K).

Jenis-jenis Ideal

  • Ideal I pada ring R disebut ideal utama (principal ideal), jika I dibangun oleh suatu unsure a ÎI, atau ditulis I=(a)={xa | xÎR}.
  • Misal G gelanggang komutatif dan P ideal dari G, P disebut ideal prima jika jika “abÎP, maka aÎP atau bÎP, sedangkan P disebut ideal radikal jika “anÎP, nÎN, maka aÎP. Buktikan bahwa
  1. Setiap ideal prima merupakan ideal radikal.
  2. Irisan dari dua ideal prima merupakan ideal radikal.
  3. c. P suatu ideal prima jika dan hanya jika R/P merupakan daerah integral.
  • Misal G gelanggang , suatu ideal M¹G disebut ideal maksimal dari R, jika untuk sebarang ideal R sedemikian sehingga MÍUÍR, maka R=U atau M=U.

Daerah integral adalah gelanggang komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol sejati.

Gelanggang Pembagian ( Division ring) adalah gelanggang yang unsure-unsur bukan nol nya membentuk grup terhadap operasi perkalian.

Lapangan adalah gelanggang pembagian yang komutatif.

Lapangan merupakan daerah integral tetapi sebaliknya belum tentu berlaku.

Gelanggang Euclides

Suatu daerah integral R disebut gelanggang Euclides jika terdapat suatu fungsi d : R-{0} ®Z+ È {0} dengan sifat:

  1. “a,b di R-{0}, d(a) £ d(ab)
  2. “a,b di R-{0}, terdapat t,r di R sedemikian sehingga a=tb+r dengan r=0 atau d(r) < d(b).

Setiap gelanggang Euclides merupakan gelanggang ideal utama.

Jika gelanggang taknol R memenuhi untuk setiap aÎR, a¹0, terdapat bÎR sehingga aba=a, buktikan bahwa

  1. R tidak memuat pembagi nol sejati.
  2. R memuat suatu unsur yang punya invers (unsur unit)
  3. Buktikan bahwa unsur nol merupakan satu-satunya unsur nilpoten pada daerah integral.